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1、一般说来，群指的是对于某一种运算*，满足以下四个条件的集合G：

2、　　（1）封闭性

3、　　若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*b=c;

4、　　（2）结合律成立

5、　　任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c);

6、　　（3）单位元存在

7、　　存在e∈G,对任意a∈G，满足a*e=e*a=a，称e为单位元，也称幺元;

8、　　（4）逆元存在

9、　　任意a∈G,存在唯一确定的b∈G, a*b=b*a=e（单位元），则称a与b互为逆元素，简称逆元，记作a^(-1)=b.

10、　　通常称G上的二元运算*为“乘法”，称a*b为a与b的积，并简写为ab.

11、　　若群G中元素个数是有限的，则G称为有限群。否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。

12、　　定义运算*

13、　　对于g∈G，H包含于G，g*H={gh|h∈H}，简写为gH；H*g={hg|h∈H}，简写为Hg.

14、　　A，B包含于G，A*B={ab|a∈A,b∈B}，简写为AB.

15、　　群的替换定理

16、　　G对*是群，则对于任一g∈G，gG=Gg=G.

17、　　定义记法

18、　　G对*是群，集合H包含于G，记H^(-1)={h^(-1)|h∈H}

19、　　子群的定义

20、　　如果G对于运算*为一个群，H包含于G并且H对*构成一个群，那么称H为G的子群。

21、　　这条定理可以判定G的子集是否为一个子群：

22、　　HH=H且H^(-1)=H <=> H是G的子群

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